Sandbox:potencial

Kiegészítés

21B-11

Két izolált vezető gömbön egyenlő $Q_0$ töltés van. Az egyik gömb sugara $R_1=R$, a másiké $R_2=3R$. A két gömböt összeérintjük, majd elválasztjuk egymástól. Számítsuk ki, hogy ezután mekkora az egyes gömbök töltése.

Összeérintés előtt az elektromos potenciál a ugyanaz a $+\mathrm{\infty }$ -től az $R_1$ illetve $R_2$ sugárig mint a ponttöltésé. Ezen belül pedig konstans. Próbatöltés tetszőlegesen mozgatható a vezetőn, azaz nem lehet munkavégzés egy vezető bármely két pontja között. (Persze ha áram folyik, azon ellenállás lehet, a feszültség eshet, ezáltal lehet munkavégzés. De itt most elektrosztatika van!)

$U_1(r>R_1)=\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ sugáron belül konstans $U_1(r<R_1)=\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_0{R}_1}$

$U_2(r>R_2)=\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ sugáron belül konstans $U_2(r<R_2)=\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_0{R}_2}$

Alsó ábra a potenciál! (elnevezések nem ugyanazok az ábra csak belinkelve van)

Az összeérintéskor a potenciál azonosnak kell lenni mindkét gömb felszínén, emiatt a kisebb sugarú gömbről a nagyobbra fog vándorolni a töltés.

$U_1=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_0{R}_1}=\frac{Q_2}{4\pi {\epsilon }_0{R}_2}=U_2$ további feltéltel hogy az össztöltés nem változhat! $Q_1+Q_2=2Q_0$

Tehát ez két egyenlet, csak a $Q_1$ és $Q_2$ nem ismert a többi igen, megoldható:

$Q_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}2Q_0$ illetve $Q_2=\frac{R_2}{R_2+R_1}2Q_0$

Behelyettesítve:

$Q_1=\frac{R}{R+3R}2Q_0=\frac{1}{2}{Q}_0$ illetve $Q_2=\frac{3R}{R+3R}2Q_0=\frac{3}{2}{Q}_0$

Zavaró, mert a csúcshatás szerint pont a kisebb gömbön kellene több töltésnek lennie. Ez nem ellentmondás, hiszen nem az össztöltés a lényeg hanem a felületi töltéssűrűség (össztöltés/gömbfelület)!

${\sigma }_1=\frac{Q_1}{4\pi R_1^2}$ illetve ${\sigma }_2=\frac{Q_2}{4\pi R_2^2}$

Behelyettesítve:

${\sigma }_1=2Q_0\frac{R_1}{4\pi R_1^2(R_1+R_2)}$ illetve ${\sigma }_2=2Q_0\frac{R_2}{4\pi R_2^2(R_1+R_2)}$

Elosztva a két töltéssűrűséget, megkapjuk a csúcshatást. (felületi töltéssűrűség a görbülettel arányos, azaz a görbületi sugár reciprokával)

$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{1/R_1}{1/R_2}$

Végül a feladat számértékeivel:

${\sigma }_1=2Q_0\frac{R}{4\pi R^2(1R+3R)}$ illetve ${\sigma }_1=2Q_0\frac{3R}{4\pi 9R^2(1R+3R)}$

${\sigma }_1=\frac{1}{4}\frac{2Q_0}{4\pi R^2}$ illetve ${\sigma }_2=\frac{1}{12}\frac{2Q_0}{4\pi R^2}$

Tehát a felületi töltéssűrűség még mindíg nagyobb lesz a kisebb gömbön az összeérintés után!