Sandbox:potencial

From Nano Group Budapest
Jump to: navigation, search

Kiegészítés


21B-11

Két izolált vezető gömbön egyenlő Q_0 töltés van. Az egyik gömb sugara R_1=R, a másiké R_2=3R. A két gömböt összeérintjük, majd elválasztjuk egymástól. Számítsuk ki, hogy ezután mekkora az egyes gömbök töltése.

Összeérintés előtt az elektromos potenciál a ugyanaz a   + \infty -től az   R_1 illetve   R_2 sugárig mint a ponttöltésé. Ezen belül pedig konstans. Próbatöltés tetszőlegesen mozgatható a vezetőn, azaz nem lehet munkavégzés egy vezető bármely két pontja között. (Persze ha áram folyik, azon ellenállás lehet, a feszültség eshet, ezáltal lehet munkavégzés. De itt most elektrosztatika van!)

  U_1 (r>R_1) = \frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} sugáron belül konstans  U_1 (r<R_1)=\frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_0 R_1}

  U_2 (r>R_2) = \frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} sugáron belül konstans  U_2 (r<R_2)=\frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_0 R_2}

Alsó ábra a potenciál! (elnevezések nem ugyanazok az ábra csak belinkelve van)


img missin

Az összeérintéskor a potenciál azonosnak kell lenni mindkét gömb felszínén, emiatt a kisebb sugarú gömbről a nagyobbra fog vándorolni a töltés.

 U_1 = \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1}=\frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2 } =U_2 további feltéltel hogy az össztöltés nem változhat!  Q_1 + Q_2 = 2 Q_0

Tehát ez két egyenlet, csak a  Q_1 és  Q_2 nem ismert a többi igen, megoldható:

 Q_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}  2 Q_0 illetve  Q_2 = \frac{R_2}{R_2 + R_1}  2 Q_0

Behelyettesítve:

 Q_1 = \frac{R}{R + 3R} 2 Q_0 =  \frac{1}{2} Q_0 illetve  Q_2 = \frac{3R}{R + 3R} 2 Q_0 =  \frac{3}{2} Q_0

Zavaró, mert a csúcshatás szerint pont a kisebb gömbön kellene több töltésnek lennie. Ez nem ellentmondás, hiszen nem az össztöltés a lényeg hanem a felületi töltéssűrűség (össztöltés/gömbfelület)!

 \sigma_1=\frac{Q_1}{4 \pi R_1^2} illetve  \sigma_2=\frac{Q_2}{4 \pi R_2^2}

Behelyettesítve:

 \sigma_1=2Q_0 \frac{R_1}{4 \pi R_1^2(R_1+R_2)} illetve  \sigma_2=2Q_0 \frac{R_2}{4 \pi R_2^2(R_1+R_2)}

Elosztva a két töltéssűrűséget, megkapjuk a csúcshatást. (felületi töltéssűrűség a görbülettel arányos, azaz a görbületi sugár reciprokával)

 \frac {\sigma_1 }{\sigma_2} = \frac {R_2 }{R_1} = \frac {1/R_1 }{1/R_2}

Végül a feladat számértékeivel:

 \sigma_1= 2Q_0 \frac{ R }{4 \pi R ^2 (1R+3R)} illetve  \sigma_1= 2Q_0 \frac{ 3 R }{4 \pi 9 R ^2 (1R+3R)}

 \sigma_1= \frac{1}{4} \frac{ 2 Q_0}{4 \pi R ^2} illetve  \sigma_2=  \frac{1}{12} \frac{ 2 Q_0}{4 \pi R ^2}

Tehát a felületi töltéssűrűség még mindíg nagyobb lesz a kisebb gömbön az összeérintés után!