Sandbox:potencial

Kiegészítés

21B-11

Két izolált vezető gömbön egyenlő $Q_{0}$ töltés van. Az egyik gömb sugara $R_{1}=R$, a másiké $R_{2}=3R$. A két gömböt összeérintjük, majd elválasztjuk egymástól. Számítsuk ki, hogy ezután mekkora az egyes gömbök töltése.

Összeérintés előtt az elektromos potenciál a ugyanaz a $+\infty$ -től az $R_{1}$ illetve $R_{2}$ sugárig mint a ponttöltésé. Ezen belül pedig konstans. Próbatöltés tetszőlegesen mozgatható a vezetőn, azaz nem lehet munkavégzés egy vezető bármely két pontja között. (Persze ha áram folyik, azon ellenállás lehet, a feszültség eshet, ezáltal lehet munkavégzés. De itt most elektrosztatika van!)

$U_{1}(r>R_{1})={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$ sugáron belül konstans $U_{1}(r<R_{1})={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{1}}}$

$U_{2}(r>R_{2})={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$ sugáron belül konstans $U_{2}(r<R_{2})={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{2}}}$

Alsó ábra a potenciál! (elnevezések nem ugyanazok az ábra csak belinkelve van)

Az összeérintéskor a potenciál azonosnak kell lenni mindkét gömb felszínén, emiatt a kisebb sugarú gömbről a nagyobbra fog vándorolni a töltés.

$U_{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{1}}}={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{2}}}=U_{2}$ további feltéltel hogy az össztöltés nem változhat! $Q_{1}+Q_{2}=2Q_{0}$

Tehát ez két egyenlet, csak a $Q_{1}$ és $Q_{2}$ nem ismert a többi igen, megoldható:

$Q_{1}={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}2Q_{0}$ illetve $Q_{2}={\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}2Q_{0}$

Behelyettesítve:

$Q_{1}={\frac {R}{R+3R}}2Q_{0}={\frac {1}{2}}Q_{0}$ illetve $Q_{2}={\frac {3R}{R+3R}}2Q_{0}={\frac {3}{2}}Q_{0}$

Zavaró, mert a csúcshatás szerint pont a kisebb gömbön kellene több töltésnek lennie. Ez nem ellentmondás, hiszen nem az össztöltés a lényeg hanem a felületi töltéssűrűség (össztöltés/gömbfelület)!

$\sigma _{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi R_{1}^{2}}}$ illetve $\sigma _{2}={\frac {Q_{2}}{4\pi R_{2}^{2}}}$

Behelyettesítve:

$\sigma _{1}=2Q_{0}{\frac {R_{1}}{4\pi R_{1}^{2}(R_{1}+R_{2})}}$ illetve $\sigma _{2}=2Q_{0}{\frac {R_{2}}{4\pi R_{2}^{2}(R_{1}+R_{2})}}$

Elosztva a két töltéssűrűséget, megkapjuk a csúcshatást. (felületi töltéssűrűség a görbülettel arányos, azaz a görbületi sugár reciprokával)

${\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {1/R_{1}}{1/R_{2}}}$

Végül a feladat számértékeivel:

$\sigma _{1}=2Q_{0}{\frac {R}{4\pi R^{2}(1R+3R)}}$ illetve $\sigma _{1}=2Q_{0}{\frac {3R}{4\pi 9R^{2}(1R+3R)}}$

$\sigma _{1}={\frac {1}{4}}{\frac {2Q_{0}}{4\pi R^{2}}}$ illetve $\sigma _{2}={\frac {1}{12}}{\frac {2Q_{0}}{4\pi R^{2}}}$

Tehát a felületi töltéssűrűség még mindíg nagyobb lesz a kisebb gömbön az összeérintés után!