Sandbox:potencial

The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.

Kiegészítés

21B-11

Két izolált vezető gömbön egyenlő $Q_{0}$ töltés van. Az egyik gömb sugara $R_{1} = R$ , a másiké $R_{2} = 3 R$ . A két gömböt összeérintjük, majd elválasztjuk egymástól. Számítsuk ki, hogy ezután mekkora az egyes gömbök töltése.

Összeérintés előtt az elektromos potenciál a ugyanaz a $+ \infty$ -től az $R_{1}$ illetve $R_{2}$ sugárig mint a ponttöltésé. Ezen belül pedig konstans. Próbatöltés tetszőlegesen mozgatható a vezetőn, azaz nem lehet munkavégzés egy vezető bármely két pontja között. (Persze ha áram folyik, azon ellenállás lehet, a feszültség eshet, ezáltal lehet munkavégzés. De itt most elektrosztatika van!)

$U_{1} (r > R_{1}) = \frac{Q_{0}}{4 π ε_{0} r}$ sugáron belül konstans $U_{1} (r < R_{1}) = \frac{Q_{0}}{4 π ε_{0} R_{1}}$

$U_{2} (r > R_{2}) = \frac{Q_{0}}{4 π ε_{0} r}$ sugáron belül konstans $U_{2} (r < R_{2}) = \frac{Q_{0}}{4 π ε_{0} R_{2}}$

Alsó ábra a potenciál! (elnevezések nem ugyanazok az ábra csak belinkelve van)

img missin

Az összeérintéskor a potenciál azonosnak kell lenni mindkét gömb felszínén, emiatt a kisebb sugarú gömbről a nagyobbra fog vándorolni a töltés.

$U_{1} = \frac{Q_{1}}{4 π ε_{0} R_{1}} = \frac{Q_{2}}{4 π ε_{0} R_{2}} = U_{2}$ további feltéltel hogy az össztöltés nem változhat! $Q_{1} + Q_{2} = 2 Q_{0}$

Tehát ez két egyenlet, csak a $Q_{1}$ és $Q_{2}$ nem ismert a többi igen, megoldható:

$Q_{1} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} 2 Q_{0}$ illetve $Q_{2} = \frac{R_{2}}{R_{2} + R_{1}} 2 Q_{0}$

Behelyettesítve:

$Q_{1} = \frac{R}{R + 3 R} 2 Q_{0} = \frac{1}{2} Q_{0}$ illetve $Q_{2} = \frac{3 R}{R + 3 R} 2 Q_{0} = \frac{3}{2} Q_{0}$

Zavaró, mert a csúcshatás szerint pont a kisebb gömbön kellene több töltésnek lennie. Ez nem ellentmondás, hiszen nem az össztöltés a lényeg hanem a felületi töltéssűrűség (össztöltés/gömbfelület)!

$σ_{1} = \frac{Q_{1}}{4 π R_{1}^{2}}$ illetve $σ_{2} = \frac{Q_{2}}{4 π R_{2}^{2}}$

Behelyettesítve:

$σ_{1} = 2 Q_{0} \frac{R_{1}}{4 π R_{1}^{2} (R_{1} + R_{2})}$ illetve $σ_{2} = 2 Q_{0} \frac{R_{2}}{4 π R_{2}^{2} (R_{1} + R_{2})}$

Elosztva a két töltéssűrűséget, megkapjuk a csúcshatást. (felületi töltéssűrűség a görbülettel arányos, azaz a görbületi sugár reciprokával)

$\frac{σ_{1}}{σ_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{1 / R_{1}}{1 / R_{2}}$

Végül a feladat számértékeivel:

$σ_{1} = 2 Q_{0} \frac{R}{4 π R^{2} (1 R + 3 R)}$ illetve $σ_{1} = 2 Q_{0} \frac{3 R}{4 π 9 R^{2} (1 R + 3 R)}$

$σ_{1} = \frac{1}{4} \frac{2 Q_{0}}{4 π R^{2}}$ illetve $σ_{2} = \frac{1}{12} \frac{2 Q_{0}}{4 π R^{2}}$

Tehát a felületi töltéssűrűség még mindíg nagyobb lesz a kisebb gömbön az összeérintés után!

Sandbox:potencial

Navigation menu

Search